Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas polares en el plano pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y por ejemplo para tratar la gráfica en dos dimensiones.

El sistema de coordenadas polares se puden generalizar en tres dimensiones, y con coodenadas (r, Ѳ, z) de unpunto.

Donde:

r = radio
Ѳ = ángulo de r con respecto a x
z = elevacion de r

Si Ѳ₀ y z₀ =constante
Ecuación es un plano que contiene a z.

Si z = z₀
Ecuación plano perpendicular a z o paralelo al plano “xy”

Relación de coordenadas cilíndricas y cartesianas
Cilíndricas a cartesianas------------------- Cartesianas a cilíndricas
x = r cosѲ-------------------------------------- r = √x² + y²
y= r senѲ------------------------------------------------------ y
z = z-------------------------------------------tan-1 = Ѳ = -------
------------------------------------------------------------------x

---------------------------------------------------z = z

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).

El significado geométrico de estas coordenadas es simple, las superficies de radio constante, son cilindros cuyo eje coincide con el eje z; las superficies de ángulo constante, son planos que cortan el eje z; y las superficies de z constante son planos perpendiculares al eje z (paralelos al plano xy).