Tarea 2

Tarea
1.- Cambiar las coordenadas cilíndricas dadas a coordenadas rectangulares.
a) (5, π/2, 3)
x = r cos Ѳ
y = r sen Ѳ
z = z
x = 5 cos π/2 = 5 (0) = 0
y = 5 sen π/2 = 5
z = 3
Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (0, 5, 3)

b) (6, π/3, -5)
x = 6 cos π/3 = 6 (1/2) = 3
y = 6 sen π/3 = 5.1961
z = -5
Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (3, 5.1961, -5)

2.- Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.
a) (1, 1, √2)
ρ = √x² + y² + z²
ρ = √ (1)² + (1)² + (√2)² = 2
tan-1 Ѳ = y/x
tan-1 Ѳ = 1/1 = 1
cos Ѳ = z/√x² + y² + z²
cos Ѳ = √2/√(1)² + (1)² + (√2)² = √2/2
Por lo tanto las coordenadas esféricas son (2, 1, √2/2)

b) (1, √3, 0)
ρ = √(1)² + (√3)² + (0)² = 2
tan-1 Ѳ = √3/1 = √3
cos Ѳ = 0/√(1)² + (√3)² + (0)² = 0
Por lo tanto las coordenadas esféricas son (2, √3, 0)

3.- Convertir las coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas.
a) (4, π/3, π/3)
x = ρ sen φ con Ѳ
x = 4 sen π/3 cos π/3 = 1.7320
y = ρ sen φ sen Ѳ
y =4 sen π/3 sen π/3 = 2.9999
z = ρ cos Ѳ
z = 4 (1/2) = 2
A cartesianas son (1.7320, 2.9999, 2)
r = √x² + y²
r = √(1.7320)² + (3)² = 3.46
tan-1 Ѳ = y/x
tan-1 Ѳ = (3)/1.7320 = 1.7320
z = 2
Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son (3.46, 1.7320, 2)

b) (2, (5/6)π, π/4)
x = ρ senφ cosѲ
x = 2 sen(5/6)π cos π/4 = 0.7071
y = ρ senφ senѲ
y = 2 sen (5/6)π sen π/4 = 0.7071
z = ρ cosѲ
z = 2 cos π/4 = 1.4142
r = √x² + y²
r = √(0.7071)² + (0.7071)²
r = 0.999
tan-1 = Ѳ = y/x = 0.7071/0.7071 = 1
z = 1.4142

Por lo tanto las coordenadas cilindricas son (0.999, 1, 1.4142)

4.- Describir la grafica de la ecuación en tres dimensiones.
b) ρ = 4 cos φ
ρ² = 4 ρ cos φ
Como ρ² = x² + y² + z² y ρ cos φ = z
Sustituimos las equivalencias:
x² + y² + z² = 4z
Agrupamos términos semejantes:
x² + y² + z² - 4z = 0
C. T. C. P con z
x² + y² + z² - 4z = 0
x² + y² + z² - 4z + (2)² = (2)²
x² + y² + z² - 4z + 4 = 4
Factorizar:
x² + y² + (z – 2)² = 4

5.- Encontrar una ecuación de coordenadas cilíndricas y una en coordenadas esféricas para la grafica de la ecuación:

a) x² + y² + z² = 4
x² + y² = 4 - z²
r² = x² + y²
r² + z² = 4

b) y² + z² =9
ρ² = x² + y² + z²
ρ² - x² = y² + z²
ρ² - x² = 9
x = ρ senΦ cosѲ
√ρ² - (ρsenφcosѲ)² = √9
Ρ – (ρsenφcosѲ) = 3

Ejercicios resueltos en clase

Ejemplos:
Determinar:
a) Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas cilíndricas (4, 2π/3, 5)

X = r cosѲ
Y = r senѲ
Z = z

X = 4 cos 2/3π = 4(-1/2) = -2
Y = 4 sen 2/3π = 4 (2√3/4) = 2√3
Z = 5

Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (-2, 2√3, 5)

b) Las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas cartesianas (-5, -5, 2)

r = √x² + y²

tan-1 Ѳ = (y/x)

z = z

r = √(-5)² + (-5)² = √25 + 25 = √50

tan-1 Ѳ = (-5/-5) = 1 = 45° = π/4

z = z

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son (√50, π/4, 2)

c) Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares (cartesianas) de las siguientes coordenadas cilíndricas.

1) z = 4r²
como r = √x² + y²
r² = x² + y²

Sustituimos:

z = 4(x² + y²)

Si hacemos x = 0 tenemos
z = 4y² Parábola en y,z
Si hacemos z = 4 tenemos
(4 = 4x² y 4y²)/(4)
1 = x² + y² circulo con centro en el origen (0,0)

2) r = 4 senѲ
Si multiplicamos a r ambos miembros:
r² = 4 r senѲ

Si sustituimos:
r² = x² + y²
y = r senѲ
x² + y² = 4y ecuación en forma cartesiana
x² + y² - 4y = 0

Completar trinomio cuadrado perfecto (C. T. C. P)
x² + y² - 4y + (4/2)² = (4/2)²
x² + y² - 4y + 4 = 4
x² + (y – 2)² = 4 circunferencia fuera del origen

Circunferencia con centro (0,2) r = 2

d) Describir la gráfica de ρ = 2cosΦ

1er paso multiplicar por ρ ambos miembros:
ρ² = 2cosΦ

como ρ² = x² + y² + z²
ρ cosΦ = z

Sustituimos las equivalencias:
x² + y² + z² = 2z ecuación cartesiana

Agrupamos términos semejantes:
x² + y² + z² - 2z = 0

C. T. C. P con z
x² + y² + z² - 2z = 0
x² + y² + z² - 2z + (2/2)² = (2/2)²

x² + y² + z² - 2z + 1 = 1 factorizamos x² + y² + (z – 1)² = 1

Ecuación de una esfera fuera del origen con centro (0, 0, 1)