Ejercicios resueltos en clase

Ejemplos:
Determinar:
a) Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas cilíndricas (4, 2π/3, 5)

X = r cosѲ
Y = r senѲ
Z = z

X = 4 cos 2/3π = 4(-1/2) = -2
Y = 4 sen 2/3π = 4 (2√3/4) = 2√3
Z = 5

Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (-2, 2√3, 5)

b) Las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas cartesianas (-5, -5, 2)

r = √x² + y²

tan-1 Ѳ = (y/x)

z = z

r = √(-5)² + (-5)² = √25 + 25 = √50

tan-1 Ѳ = (-5/-5) = 1 = 45° = π/4

z = z

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son (√50, π/4, 2)

c) Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares (cartesianas) de las siguientes coordenadas cilíndricas.

1) z = 4r²
como r = √x² + y²
r² = x² + y²

Sustituimos:

z = 4(x² + y²)

Si hacemos x = 0 tenemos
z = 4y² Parábola en y,z
Si hacemos z = 4 tenemos
(4 = 4x² y 4y²)/(4)
1 = x² + y² circulo con centro en el origen (0,0)

2) r = 4 senѲ
Si multiplicamos a r ambos miembros:
r² = 4 r senѲ

Si sustituimos:
r² = x² + y²
y = r senѲ
x² + y² = 4y ecuación en forma cartesiana
x² + y² - 4y = 0

Completar trinomio cuadrado perfecto (C. T. C. P)
x² + y² - 4y + (4/2)² = (4/2)²
x² + y² - 4y + 4 = 4
x² + (y – 2)² = 4 circunferencia fuera del origen

Circunferencia con centro (0,2) r = 2

d) Describir la gráfica de ρ = 2cosΦ

1er paso multiplicar por ρ ambos miembros:
ρ² = 2cosΦ

como ρ² = x² + y² + z²
ρ cosΦ = z

Sustituimos las equivalencias:
x² + y² + z² = 2z ecuación cartesiana

Agrupamos términos semejantes:
x² + y² + z² - 2z = 0

C. T. C. P con z
x² + y² + z² - 2z = 0
x² + y² + z² - 2z + (2/2)² = (2/2)²

x² + y² + z² - 2z + 1 = 1 factorizamos x² + y² + (z – 1)² = 1

Ecuación de una esfera fuera del origen con centro (0, 0, 1)