Tarea de Repaso

Repaso:

1) Si:

µ = (2, -1, 3)
v = (0, 1, 7)
w = (1, 4, 5)

a) µ x (v x w)

i-----j---k
0---1---7 = [(1 x 5)–(4 x 7)]î - [(0 x 5)–(1 x 7)]ĵ + [(0 x 4)–(1 x 1)]k̂
1---4---5 -----------------------------= -23i + 7j – 1k


---i----j---k
---2---1---3 = [(-1 x -1)–(7 x 3)]î - [(2 x -1)–(-23 x 3)]ĵ + [(2 x 7) – (-23 x -1)]k̂
-23---7---1----------------------- = 20i – 67j – 9k =-56


b) (µ x v) x w

i---- j---k
2 --1---3 = [(-1 x 7) – (1 x 3)]î - [(2 x 7) – (0 x 3)]ĵ + [(2 x 1) – (0 x -1)]k
0---1---7----------------------------= -10i – 14j + 2k

---i-----j-----k
-10--14----2 = [(-14 x 5) – (4 x 2)]î - [(-10 x 5) – (1 x 2)]ĵ + [(-10 x 4) – (1 x -14)]k
---1----4----5----------------------= -78i + 52j -26k = -12

c) (µ x v) -2 w

-2 (1, 4, 5) = -2, -8, -10
(-10, -14, ) + (-2, -8, -10) = -12 -22 -8

2) Hallar el área del triangulo que tiene vértices P, Q, R
P (1, 5, -2)
Q ( 0, 0, 0)------------------------(-1, -5, 2) (2, 0, 3)
R (3, 5, 1)

------------→ ---------→------------2
A = ½ //P₁P₂ x P₁P₃// = ______ = 9.66
--------------------------------------19.33

--→---------→--------i-----j----k
P₁P₂ x P₁P₃ = -1-----5---2 = [(-5 x 3) – (0 x 2)]î - [(-1 x 3) – (2 x 2)]ĵ
--------------------------2-----0---3--------------------+ [(-1 x 0) – (2 x -5)]k̂
------------------------------------------------------------= -15i + 7j + 10k

Producto Vectorial y Producto Escalar (Cruz)

Producto Escalar

Si M y V son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y sus angulo entre ellos es 0 ≤ Ѳ ≥ π.

Entonces:

________//µ//v//cosѲ ______________si µ ≠ 0 y v ≠ 0
µ · v =
________0 _______________________si µ = 0, v = 0

___________µ · v
Ѳ = con-1 = _________
__________//µ//v//

//µ// = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Ѳ = es agudo si y solo si µ · v › 0
Ѳ = es obtuso si y solo si µ · v ‹ 0
Ѳ = π/2 si y solo si µ · v = 0

Producto Vectorial (Cruz)

Si µ = (µ₁, µ₂, µ₃) y v = (ѵ₁, ѵ₂, ѵ₃) son vectores.

En el espacio el producto vectorial queda determinado por:

µ x v = µ₂ѵ₃ - µ₃ѵ₂, µ₃ѵ₂ - µ₁ѵ₃, µ₁ѵ₂ - µ₂ѵ₁

---------i -----j----k
µ x v = µ₁ µ₂ µ₃
---------ѵ₁--ѵ₂ ѵ₃

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas polares en el plano pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y por ejemplo para tratar la gráfica en dos dimensiones.

El sistema de coordenadas polares se puden generalizar en tres dimensiones, y con coodenadas (r, Ѳ, z) de unpunto.

Donde:

r = radio
Ѳ = ángulo de r con respecto a x
z = elevacion de r

Si Ѳ₀ y z₀ =constante
Ecuación es un plano que contiene a z.

Si z = z₀
Ecuación plano perpendicular a z o paralelo al plano “xy”

Relación de coordenadas cilíndricas y cartesianas
Cilíndricas a cartesianas------------------- Cartesianas a cilíndricas
x = r cosѲ-------------------------------------- r = √x² + y²
y= r senѲ------------------------------------------------------ y
z = z-------------------------------------------tan-1 = Ѳ = -------
------------------------------------------------------------------x

---------------------------------------------------z = z

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).

El significado geométrico de estas coordenadas es simple, las superficies de radio constante, son cilindros cuyo eje coincide con el eje z; las superficies de ángulo constante, son planos que cortan el eje z; y las superficies de z constante son planos perpendiculares al eje z (paralelos al plano xy).

Coordenadas esfericas

Coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas polares pueden servr para simplificar ciertas ecuaciones y trazar la gafica en dos dimensiones.

Relación de coordenadas esféricas a cartesianas

Esféricas a cartesianas-----------------Cartesianas a esféricas
x = ρ sen φ cosѲ-----------------------ρ = √x² + y² + z²
y = ρ senφ senѲ --------------------------------------y
z = ρ cosѲ-----------------------------tan -1 Ѳ = --------
----------------------------------------------------------x
-------------------------------------------------------z
----------------------------------------Cos φ = -------------
-------------------------------------------------√x² + y² + z²

ρ = //OP//
Φ = Angulo entre la parte positiva del eje z y OP.
Ѳ = Angulo polar a la proyección p’ de p sobre el plano xy.

El sistema de coordenadas Esféricas se puede definir utilizando las siguientes variables r, rho, theta, donde rho se mide desde el eje Z y theta desde el eje X.

Las relaciones entre r, rho, theta y x, y, z son las siguientes:

x=r*sin(rho)*cos(theta)
y=r*sin(rho)*sin(theta)

z=r*cos(rho)

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ.

Coordenadas Cartesinas

Coordenadas Cartesianas

Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

Sistemas Coordenados y calculo vectorial

Sistemas Coordenados

Existen tres diferentes tipos de sistemas coordenados. El sistema coordenado cartesiano, bidimensional o plano, el cual consta de dos ejes, X y Y; el sistema coordenado unidimensional, el cual sólo consta de un eje y el sistema coordenado tridimensional, el cual, consta de 3 ejes coordenados, X, Y y Z.

Un sistema de coordenadas cartesianas se define por 2 o 3 ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si en un sistema bidimensional y tridimensional.
Se llama sistema de ejes coordenados ortogonales, al formado por tres rectas X, Y y Z, perpendiculares entre sí dos a dos, siendo cada una de ellas perpendicular al plano determinado por las otras dos.

Las rectas se llaman ejes coordenados y los planos que determinan, planos coordenados, los cuales, al cortarse, dividen al espacio en ocho triedros rectán­gulos, tales como el OXYZ.
Se dibujan las perpendiculares PL, PM, PN que van desde P a los puntos yz, zx y xy respectivamente.

Distancia al origen.- para hallar la distancia, construir el paralelogramo rectangular que tenga lados PL, PM, PN.

Cálculo Vectorial

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariables de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de formulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.
Consta de asignar o asociar un escalar a un punto en el espacio, y un vector a un punto en el espacio, es decir se llaman magnitudes escalares aquellos que solo influye en su tamaño mientras las magnitudes vectoriales son aquellas en que influye la dirección y el sentido en que se aplica.

Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente determinadas por un número seguido del símbolo de la unidad que se ha utilizado para medirlas, por ejemplo, la temperatura, trabajo, volumen, densidad...
Magnitudes vectoriales: son aquellas que además de lo anterior es necesario especificar una dirección y sentido. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por ejemplo: velocidad, aceleración. Se representan mediante vectores.