Problemas de Termodinamica

Cuestionario de Termodinamica

1. ¿QUE PROPIEDADES DE LA MATERIA DEPENDEN DE LA TEMPERATURA?

Volumen, densidad y presión.

2. ¿A QUE SE LE LLAMA EQUILIBRIO TÉRMICO?

Se dice que los cuerpos en contacto térmico se encuentran en equilibrio térmico cuando no existe flujo de calor de uno hacia el otro.

3. ¿QUE ES UN AISLANTE IDEAL?

Aislante hace referencia a cualquier material que impide la transmisión de la energía en cualquiera de sus formas: con masa que impide el transporte de energía.• el aislante acústico que aísla el sonido; • el aislante eléctrico que aísla la electricidad; • el aislador de microondas que aísla circuitos de microondas; • el aislante térmico, que aísla la temperatura. • el aislador de barrera, que aísla del medio ambiente procesos de laboratorios.

4. DIBUJAR UN SISTEMA QUE REPRESENTE LA LEY CERO DE LA TERMODINÁMICA, INDICANDO EL EQUILIBRIO TÉRMICO

5. ¿CUANDO SE DICE QUE DOS SISTEMAS ESTÁN EN EQUILIBRIO TÉRMICO?

Cuando dos cuerpos se encuentran en equilibrio térmico, entonces estos cuerpos tienen la misma temperatura.

6. ¿PORQUE CUANDO UNA ENFERMERA TOMA LA TEMPERATURA DE UN PACIENTE ESPERA QUE LA LECTURA DEL TERMÓMETRO DEJE DE CAMBIAR?

Porque es hasta entonces cuando la temperatura se considera correcta. Al tomar la temperatura una enfermera espera que la lectura del termómetro deje de cambiar para lograr un equilibrio térmico entre el calor del cuerpo y el ambiente.

7. MENCIONAR TRES TIPOS DE DISPOSITIVOS QUE MIDEN LA TEMPERATURA

• Termómetro

• Termopar

• Pirómetro

8. ¿CUAL ES LA TEMPERATURA DE CONGELACIÓN DEL AGUA EN Fº?

32°F

9. CALCULAR LA TEMPERATURA Fº DEL PLANETA VENUS SI EN GRADOS Cº CORRESPONDE A

460 ºC. 860°F

10. ENCONTRAR LA TEMPERATURA EN LA QUE COINCIDEN LAS ESCALAS Fº Y Cº.

-40°

11. LA TEMPERATURA DE LA CORONA SOLAR ES DE 2 X107 ºC, Y LA TEMPERATURA A LA QUE EL HELIO SE LICUA A PRESION ESTANDAR ES DE 268.93 ºC.A) EXPRESAR ESTAS TEMPERATURAS EN KELVINB) EXPLICAR PORQUE SUELE USARSE LA ESCALA KELVIN

a) K=C+273K= (2 x 107 °C) + 273 =20000273 °KK= (268.93 °C) +273= 541.93 °K

b) La escala kelvin suele usarse solo para experimentos de temperatura de tipo científico. El kelvin es la unidad de temperatura de la escala creada por William Thompson en el año 1848, sobre la base del grado Celsius, estableciendo el punto cero en el cero absoluto (−273,15 °C) y conservando la misma dimensión. William Thompson, quien más tarde sería Lord Kelvin, a sus 24 años introdujo la escala de temperatura termodinámica, y la unidad fue nombrada en su honor.

12. DOS VASOS DE AGUA A, B ESTAN INICIALMENTE A LA MISMA TEMPERATURA. LA TEMPERATURA DEL AGUA DEL VASO SE AUMENTA 10 ºF Y LA DEL VASO B 10ºK, ¿CUAL VASO ESTÁ AHORA A MAYOR TEMPERATURA?

°C= °F – 32 / 1.8

°C = 10°F – 32 / 1.8

°C= -12.22 10° C

°C = k-273

°C = 10 °K – 273 = -263 °C

El vaso A sigue estando a mayor temperatura.

Problemas Unidad III

En el ecuador, cerca de la superficie de la Tierra el campo magnético es aproximadamente de 50.0 µT con dirección norte y el campo electico es cercano a 100 N/C hacia abajo en clima favorable. Encuentre las fuerzas gravitacional eléctrica y magnética sobre un electrón que se mueven a una velocidad instantánea de 6.00 x 106 m/s en dirección este en dicho ambiente.

Fuerza gravitacional:
Fg = mg = (9.11 x 10-31 kg) (9.80 m/s2) = 8.93 x 10-30 N (abajo)
Fuerza eléctrica:
Fe = qE = (-1.60 x 10-19 C) (100 N/C) abajo = 1.60 x 10-17 N arriba
Fuerza magnética:
FB = qv x B = (-1.60 x 10-19 C) (6.00 x 106 m/s (E)) x (50.0 x 10-6 (N·s/C·m)(N))
FB = -4.80 x 10-7 N arriba = 4.80 x 10-17 N abajo


Un alambre conduce una corriente estable de 2.40 A. Una sección recta del alambre mide 0.750 m de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme de magnitud B= 1.60 T en la dirección z positiva. Si la corriente esta en la dirección +x, ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la sección de alambre?

FB = IL x B = (2.40 A) (0.750 m)i x (1.60 T)k = (-2.88 j)N


Una corriente de 17.0 mA se mantiene en una espira de circuito individual de 2.00 m de circunferencia. Un campo magnético de 0.800 T se dirige paralelo al plano de la espira.

a) Calcule el momento magnético de la espira.
2pr = 2.00 m
r = 0.318 m
µ = IA = (17.0 x 10-3 A) [p(0.318)2 m2] = 5.41 mA·m2
b) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por el campo magnético?
τ = µ x B
τ = (5.41 x 10-3 A·m2) (0.800 T) = 4.33 mN·m
Un pequeño imán de barra esta suspendido en un campo magnético uniforme de 0.250 T. El momento de torsión máximo experimentado por el imán de barra es de 4.60 x 10-3 N.m. Calcule el momento magnético del imán de barra.
Una espira rectangular consta de N = 100 vueltas enrolladas muy próximas entre si tiene dimensiones a = 0.400 m y b= 0.300 m. La espira se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo Ѳ = 30.0° con el eje x. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo magnetico uniforme B = 0.800 T dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I = 1.20 A en la dirección indicada? ¿Cuál es la dirección esperada de rotación de la espira?.



Un alambre de 40.0 cm de largo conduce una corriente de 20.0 A. Se dobla en una espira y se coloca con su normal perpendicular a un campo magnético con una intensidad de 0.520 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si se dobla en la forma de:
Para τ = µ x B = IA x B, la magnitud del torque es IAB sen 90°.

a) Un triangulo equilátero?
La altitud es √(13.32 – 6.672) cm = 11.5 cm
A = ½ (11.5 cm) (13.3 cm) = 7.70 x 10-3 m2
τ = (20.0 A) (7.70 x 10-3 m2) (0.520 N·s/C·m) = 80.1 mN·m
b) Un cuadrado?
τ = (20.0 A) (10-2 m2) (0.520 T) = 0.104 N·m
c) Un circulo?
r = 0.400 m/ 2p = 0.0637 m
A = pr2 = 1.27 x 10-2 m2
τ = (20.0 A) (1.27 x 10-2 m2) (0.520) = 0.132 N·m
d) ¿Cuál momento de torsión es más grande?
El circular.

Un ion positivo con una sola carga tiene una masa de 3.20 x 10-26 kg. Después de que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 833 V, el ion entra a un campo magnético de 0.920 T a lo largo de una dirección perpendicular a la dirección del campo. Calcule el radio de la trayectoria del ion en el campo.

½ mv2 = q(Δv)
½ (3.20 x 10-26 kg)v2 = (1.60 x 10-19 C) (833 V)
V = 91.3 km/s
qVB sen Ѳ = mv2/r
r = mv/qB sen 90° = ((3.20 x 10-26 kg) (9.13 x 104 m/s))/((1.60 x 10-19 C) (0.920 N·s/C·m)) = 1.98 cm


Una bobina rectangular de 50 vueltas y dimensiones de 5.00 cm x 10.0 cm se deja caer desde una posición donde B = 0 hasta una nueva posición donde B = 0.500 T y se dirige perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la magnitud de la fem promedio inducida en la bobina se el desplazamiento ocurre en 0.250 s.

Є = ΔΦB/Δt = Δ(NBA)/Δt = 500 mV


Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de 1.00 m. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la dirección del campo magnético de la Tierra de 50.0 µT, y luego, en 0.200 s, se gira 180°. ¿Cuál es la fem promedio generada en la bobina?

Є = - N(ΔBA Cos Ѳ/Δt) = - NBpr2 ((Cos Ѳf – Cos Ѳi)/(Δt))
= -25.0 (50.0 x 10-6 T) p (0.500 m)2 ((Cos 180° - Cos 0)/(.200 s))
Є = + 9.82 mV


Un anillo de aluminio con un radio de 5.00 cm y una resistencia de 3.00 x 10-4 Ω se coloca sobre la parte superior de un largo solenoide con núcleo de aire, 1000 vueltas por metro y un radio de 3.00 cm. Suponga que la componente axial del campo producido por el solenoide sobre el área del extremo del solenoide es la mitad de intensa que en el centro del solenoide. Suponga que el solenoide produce un campo despreciable afuera de su área de sección transversal.

Є = (d(BA))/dt = 0.500 µ0nA (dI/dt) = 0.480 x 10-3 V
a) Si la corriente en el solenoide esta aumentando a razón de 270 A/s, ¿Cuál es la corriente inducida en el anillo?
Ianillo = Є/R = 4.80 x 10-4/3.00 x 10-4 = 1.60 A
b) En el centro del anillo, ¿Cuál es el campo magnético producido por la corriente inducida en el anillo?
Banillo = µ0I/2ranillo = 20.1 µT
c) ¿Cuál es la dirección de este campo?
Los puntos del campo están hacia abajo y están aumentado cuando Banillo es hacia arriba.


Encuentre la corriente que atraviesa la sección PQ la cual tiene una longitud a = 65.0 cm. El circuito se localiza en un campo magnético cuya magnitud varia con el tiempo de acuerdo con la expresión B = (1.00 x 10-3 T/s)t. Suponga que la resistencia por longitud del alambre es 0.100 Ω/m.

Para un viaje a la izquierda alrededor del lazo izquierdo con B = At.
d/dt (At(2a2) Cos 0) – I1(5R) – IPQR = 0
y para el lazo derecho
d/dt (Ata2) + IPQR – I2 (3R) = 0
donde IPQ = I1 – I2 es la corriente ascendente QP.
Asi que: 2Aa2 – 5R (IPQ + I2) – IPQR = 0
Y Aa2 + IPQR = I2 (3R)
2Aa2 – 6RIPQ – [(5/3)(Aa2 + IPQR)] = 0
IPQ = Aa2/23R hacia arriba y entonces:
R = (0.100 Ω/m)(0.650 m) = 0.0650 Ω
IPQ = [(1.00 x 10-3 T/s)(0.50 m)2]/[23(0.0650 Ω)] = 283 µA hacia arriba.



Una bobina que se enrolla con 50 vueltas de alambre en la forma de un cuadrado se coloca en un campo magnético de modo que la normal al plano de la bobina forme un ángulo de 30° con la dirección del campo. Cuando el campo magnético se incrementa uniformemente de 200µT a 600µT en 0.400 s, una fem de 80.0 mV de magnitud se induce en la bobina. ¿Cuál es la longitud total de alambre?

Є = d/dt(NB12Cos Ѳ) = ((N12ΔB Cos Ѳ)/(Δt))
1 = √(ЄΔt/NΔBCosѲ) = √(((80.00 x 10-3 V)(0.400 s))/((50)(600 x 10-6 T – 200 x 10-6 T)(Cos 30°))) = 1.36 m
Longitude = 41N = 4(1.36 m)(50) = 275 m



Una bobina circular que encierra un área de 100 cm2 esta integrada por 200 vueltas de alambre de cobre. Al principio, un campo magnético uniforme de 1.10 T apunta perpendicularmente hacia arriba a través del plano de la bobina. La dirección del campo se invierte después. Durante el tiempo que el campo esta cambiando su dirección, ¿Cuánta carga fluye a través de la bobina si R = 5.00 Ω?

Є = - (N)(dΦB/dt)
Idt = - (N/R)(dΦB)
Q = - (N/R)(ΔΦB) = - (N/R)A(Bf – Bi)
Q = - (200/5.00 Ω)(100 x 10-4)(-1.10 – 1.10)T = 0.880 C.


Una bobina rectangular con resistencia R tiene N vueltas, cada una de longitud ℓ y ancho ω. La bobina se mueve dentro de un campo magnético uniforme B a velocidad v. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la bobina:

a) Cuando esta entra al campo magnético
La fuerza en el lado de la bobina que incorpora el campo (que consiste en los alambre de N) es:
F = N(ILB) = N(IwB)
El fem inducido en la bobina es:
Є = N(dΦB/dt) = N(d(Bwv)/dt) = NBwv
Entonces la corriente esta I = (Є/R) = (NBwv/R) a la izquierda.
La fuerza en el lado izquierdo principal de la bobina es entonces:
F = N(NBwv/R)wB = (N2B2w2v/R) a la izquierda.
b) Cuando se mueve dentro del campo
La bobina esta una vez enteramente dentro del campo ΦB = NBA = constante, entonces Є = 0, I = 0 y F = 0.
c) Cuando sale del campo?
Mientras que la bobina comienza a salir del campo, el flujo disminuye a Bwv, así que la magnitud de la corriente es igual que en la parte (a), pero ahora los flujos de la corriente a la derecha. Así, la fuerza ejercida en el lado que se arrastra de la bobina es:
F = (N2B2w2v/R) a la izquierda.


Dos rieles paralelos que tienen resistencia despreciable están separados 10.0 cm y se conectan por medio de un resistor de 5.00 Ω. El circuito consiste también dos barras metálicas con resistencias de 10.0 Ω y 15.0 Ω que se deslizan a lo largo de los rieles. Las barras se alejan del resistor con rapidez constante de 4.00 m/s y 2.00 m/s, respectivamente. Se aplica un campo magnético uniforme, de 0.010 0 T de magnitud, perpendicular al plano de los rieles. Determine la corriente en el resistor de 5.00 Ω.

Lazo izquierdo: + Bdv2 – I2R2 = 0
Lazo derecho: + Bdv3 – I3R3+ I1R1 =
En la ensambladura: I2 = I1 + I3
Entonces, Bdv2 – I1R2 – I3R2 – I1R1 = 0
I3 = (Bdv3/R3) + (I1R1/R3)
Por lo tanto Bdv2 – I1(R1 + R2) – (Bdv3R2/R3) – (I1R1R2/R3) = 0
I1 = Bd[(v2R3 – v3R2)/(R1R2 + R1R3 + R2R3)] hacia arriba
I1 = (0.0100 T)(0.100 m) [{(4.00 m/s)(15.0 Ω) – (2.00 m/s)(10.0 Ω)}/{(5.00 Ω)(10.0 Ω) + (5.00 Ω)(15.0 Ω) + (10.0 Ω)(15.0 Ω)}] = 145 µA hacia arriba.


Una bobina de 0.100 m2 de área esta girando a 60.0 rev/s con el eje de rotación perpendicular a un campo magnético de 0.200 T.

a) Si hay 1000 vueltas en la bobina, ¿Cuál es el máximo voltaje inducido en el?
Єmax = NABw = (1000)(0.100)(0.200)(120p) = 754 kV.
b) Cuando el máximo voltaje inducido ocurre, ¿Cuál es la orientación de la bobina respecto del campo magnético?
Є(t) = - NBAw · Senwt = - NBA Sen Ѳ
Є es máximo cuando Sen Ѳ = 1, Ѳ = +- (p/2)
El plano de la bobina es tan paralelo a B.


Un largo solenoide, cuyo eje coincide con el eje x, consta de 200 vueltas por metro de alambre que conduce una corriente estable de 15.0 A. Se forma una bobina enrollando 30 vueltas de alambre delgado alrededor de un armazón circular que tiene un radio de 8.00 cm. La bobina se pone dentro del solenoide y se monta sobre un eje que esta a un diámetro de la bobina se hace girar con una rapidez angular de 4.00p rad/s. (El plano de la bobina esta en el plano yz en t = 0.) Determine la fem desarrollada en la bobina como función del tiempo.

B = µ0nI = (4p x 10-7 T · m/A)(200 m-1)(15.0 A) = .77 x 10-3 T
Para la pequeña bobina ΦB = NB · A = NBA Cos wt = NB(pr2) Cos wt
Así, Є = - (dΦB/dt) = NBpr2w Sen wt
Є = (30.0)(3.7 x 10-3 T)p(0.0800 m)2(4.00ps-1) Sen (4.00 pt) = (28.6 mV) Sen (4.00pt)

Campo Magnetico de un Alambre

Pregunta 1

La Dirección del Campo Magnético

¿Cuál será el campo magnético aspecto positivo cuando las corrientes actuales atraviesan el alambre? (La corriente positivas actual se define a fluir fuera de la pantalla.)

Cuando se mueven las flechas azules del simulador que son las que indican la carga y líneas de campo magnético del alambre; se observa que al traspasar una corriente positiva, las líneas del campo aumentan conforme aumentamos los valores de la corriente y por lo tanto también el flujo aumenta.

Pregunta 2

Orientación del Campo Magnético

¿Qué hace el ángulo de campo magnético que en relación con la posición del vector que conecta el alambre hasta el punto de interés?

Al cambiar la dirección del vector en el campo magnético en un punto especifico se puede observar que las líneas del campo permanecen igual, mientras que la distancia desde el punto de origen hasta un punto especifico varia dependiendo su ubicación y es representado por la letra r = radio.

Pregunta 3

Magnitud a lo largo de una Línea Radial

¿La magnitud del campo cambia a lo largo de una línea que extiende radialmente lejos del alambre?

La magnitud del campo magnético no cambia ya que solo se ocasiona un movimiento en el vector director y lo único que cambia es el radio y la intensidad del campo.

Pregunta 4

Magnitud de Campo a lo largo de una Línea

¿La magnitud del campo cambia a lo largo de las líneas del campo circular?

No se observa un cambio en la magnitud del campo al arrastrar el vector director alrededor de las líneas circulares. Lo único que cambias es el radio en el vector director y la intensidad de campo.

Pregunta 5

Dependencia de la Actual

¿Qué sucederá a la magnitud y a la dirección del campo magnetico, en el punto en espacio que usted esta examinando, si se aumenta la corriente?

Al realizar el experimento se puede ver que tanto la magnitud como la dirección del campo magnético varían al generar un aumento en la corriente.

Pregunta 6

Mover de un Tirón la Corriente

¿Qué sucederá a la magnitud y a la dirección del campo magnetico, en el punto en espacio que usted esta examinando, si la corriente se mueve de un tiron de positivo a la negativa?

Los círculos verdes que indican la magnitud del campo magnético cambian el sentido de la dirección, además también se produce un cambio en el vector director del campo magnético en dirección hacia abajo.

Pregunta 7

Patron de las Limaduras de Hierro

¿Qué va a pasar con el patrón de limaduras de hierro, si la corriente se mueve de un tirón de nuevo a un valor positivo?

La dirección de la flecha con respecto a los circulos verdes que indican el campo magnético no cambian de dirección, sin embargo el radio y la intensidad de la magnitud toman valores distintos, además el vector director regresa a la posición original.

Pregunta 8

Dependencia Funcional de la Corriente

¿Cuál es la dependencia funcional del campo magnético de la corriente para un alambre recto, actual que lleva?

Debido a que el campo magnético aumenta en una cantidad constante, para un aumento constante en la corriente, la dependencia debe ser lineal. Desde las gotas del campo a 0 cuando la corriente es 0, después la dependencia linear debe ser, de hecho, proporcional.

Pregunta 9

La Dependencia Funcional en la Distancia

¿Cuál es la dependencia funcional de campo magnético sobre una distancia de la recta, actual portadora de alambre?

Puesto que el campo magnético disminuye por un factor de dos ,cuando los aumentos de la distancia por un factor de dos la dependencia deben ser e l ~ 1/r. de B.

Pregunta 10

Ley Biot-Savart

¿Cuál es la distancia de un cable de llevar más allá de 10 A que el campo magnético es menos de 15 μT?

r=13.3 cm

Pregunta 11

Rompecabezas Biot-Savart

A 2 cm de largo objeto se coloca en el campo magnético de un alambre de 15 A. Un extremo del objeto está expuesto a un campo de 35 μT. ¿Qué gama de campos magnéticos de mayo, el otro extremo del objeto a ser expuestos?

El extremo del objeto en el campo de 35 µT se debe localizar en:
B = µI/2πr
r = µI/2πB
r = (4π x 10-7 Tm/A) (15 A)/2π (35 x T) 10-6
r = 0.086 M.
Así, el otro extremo del objeto debe estar entre 10.6 cm y 6.6 cm del alambre. Tapar esta dos distancias en la ley de Biot-Savart rinde campos magnéticos el µT 28 del µT y 45, respectivamente.

Cuestionario Equipo #5 (Campo electrico debido a un dipolo)

1.- La temperatura y velocidad del aire tiene valores diferentes en distintos lugares de la atmósfera terrestre.

¿Es la velocidad del aire un campo vectorial? ¿Por que?

Si. Porque el aire tiene todos los elementos para que se considere un vector, que son: magnitud, dirección y sentido.

¿Es la temperatura del aire un campo vectorial? ¿Por que?

No. Porque no posee dirección ni sentido, solo magnitud.

2.- Un objeto pequeño que tiene una carga de – 55 uC experimenta una fuerza hacia debajo de 6.2 x 10^9 N cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico,

a) Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico en este punto?,

q = -55.0 x 10-6 C
6.20 x 10-9 N. E = F/q = 1.13 x 10-4 N/C,
HACIA ARRIBA

b) Cuáles serían la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre un núcleo de cobre (número atómico = 29) masa atómica = 63.5 g/mol) situado en este mismo punto del campo eléctrico?.

F = qE =(29) 1.6 x 10-19 C x 1.13 x 10-4 N/C = 5.24 x 10-22 N.

3.- En un sistema de coordenadas rectangulares se coloca una carga positiva puntual Q = 6x10^-9 C en el punto x = + 0.15 m, y = 0, y una carga puntual idéntica en x = - 0.15 m, y = 0. Hallar las componentes x y y, así como la magnitud y la dirección del campo eléctrico en los puntos siguientes:

a) el origen;

Ex = Ey = E = 0

b) x = 0.3 m, y =0;

E = 1/4πε0(6.00 x 10-9 C) x ((1/(0.15 m)²) + (1/(0.45 m)²)) î = 2667 N/C

c) x = 0.15 m, y = - 0.4 m;

E = 1/4πε0(6.00 x 10-9 C) x [(-1/(0.4 m)²) + [(1/(0.5 m)²)(0.3/0.5)] - [(1/(0.5 m)²)(0.4/0.5)]]

E = (129.6 – 510.3) N/C E = 526.5 N/C, 284°

d) x = 0, y = 0.2 m.

E = 1/4πε0 x [(2(6.00 x 10-9 C) x (0.2/0.25)] / (0.25 m)2] = 1382 N/C

Tarea 2

Tarea
1.- Cambiar las coordenadas cilíndricas dadas a coordenadas rectangulares.
a) (5, π/2, 3)
x = r cos Ѳ
y = r sen Ѳ
z = z
x = 5 cos π/2 = 5 (0) = 0
y = 5 sen π/2 = 5
z = 3
Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (0, 5, 3)

b) (6, π/3, -5)
x = 6 cos π/3 = 6 (1/2) = 3
y = 6 sen π/3 = 5.1961
z = -5
Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (3, 5.1961, -5)

2.- Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.
a) (1, 1, √2)
ρ = √x² + y² + z²
ρ = √ (1)² + (1)² + (√2)² = 2
tan-1 Ѳ = y/x
tan-1 Ѳ = 1/1 = 1
cos Ѳ = z/√x² + y² + z²
cos Ѳ = √2/√(1)² + (1)² + (√2)² = √2/2
Por lo tanto las coordenadas esféricas son (2, 1, √2/2)

b) (1, √3, 0)
ρ = √(1)² + (√3)² + (0)² = 2
tan-1 Ѳ = √3/1 = √3
cos Ѳ = 0/√(1)² + (√3)² + (0)² = 0
Por lo tanto las coordenadas esféricas son (2, √3, 0)

3.- Convertir las coordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas.
a) (4, π/3, π/3)
x = ρ sen φ con Ѳ
x = 4 sen π/3 cos π/3 = 1.7320
y = ρ sen φ sen Ѳ
y =4 sen π/3 sen π/3 = 2.9999
z = ρ cos Ѳ
z = 4 (1/2) = 2
A cartesianas son (1.7320, 2.9999, 2)
r = √x² + y²
r = √(1.7320)² + (3)² = 3.46
tan-1 Ѳ = y/x
tan-1 Ѳ = (3)/1.7320 = 1.7320
z = 2
Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son (3.46, 1.7320, 2)

b) (2, (5/6)π, π/4)
x = ρ senφ cosѲ
x = 2 sen(5/6)π cos π/4 = 0.7071
y = ρ senφ senѲ
y = 2 sen (5/6)π sen π/4 = 0.7071
z = ρ cosѲ
z = 2 cos π/4 = 1.4142
r = √x² + y²
r = √(0.7071)² + (0.7071)²
r = 0.999
tan-1 = Ѳ = y/x = 0.7071/0.7071 = 1
z = 1.4142

Por lo tanto las coordenadas cilindricas son (0.999, 1, 1.4142)

4.- Describir la grafica de la ecuación en tres dimensiones.
b) ρ = 4 cos φ
ρ² = 4 ρ cos φ
Como ρ² = x² + y² + z² y ρ cos φ = z
Sustituimos las equivalencias:
x² + y² + z² = 4z
Agrupamos términos semejantes:
x² + y² + z² - 4z = 0
C. T. C. P con z
x² + y² + z² - 4z = 0
x² + y² + z² - 4z + (2)² = (2)²
x² + y² + z² - 4z + 4 = 4
Factorizar:
x² + y² + (z – 2)² = 4

5.- Encontrar una ecuación de coordenadas cilíndricas y una en coordenadas esféricas para la grafica de la ecuación:

a) x² + y² + z² = 4
x² + y² = 4 - z²
r² = x² + y²
r² + z² = 4

b) y² + z² =9
ρ² = x² + y² + z²
ρ² - x² = y² + z²
ρ² - x² = 9
x = ρ senΦ cosѲ
√ρ² - (ρsenφcosѲ)² = √9
Ρ – (ρsenφcosѲ) = 3

Ejercicios resueltos en clase

Ejemplos:
Determinar:
a) Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas cilíndricas (4, 2π/3, 5)

X = r cosѲ
Y = r senѲ
Z = z

X = 4 cos 2/3π = 4(-1/2) = -2
Y = 4 sen 2/3π = 4 (2√3/4) = 2√3
Z = 5

Por lo tanto las coordenadas cartesianas son (-2, 2√3, 5)

b) Las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas cartesianas (-5, -5, 2)

r = √x² + y²

tan-1 Ѳ = (y/x)

z = z

r = √(-5)² + (-5)² = √25 + 25 = √50

tan-1 Ѳ = (-5/-5) = 1 = 45° = π/4

z = z

Por lo tanto las coordenadas cilíndricas son (√50, π/4, 2)

c) Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares (cartesianas) de las siguientes coordenadas cilíndricas.

1) z = 4r²
como r = √x² + y²
r² = x² + y²

Sustituimos:

z = 4(x² + y²)

Si hacemos x = 0 tenemos
z = 4y² Parábola en y,z
Si hacemos z = 4 tenemos
(4 = 4x² y 4y²)/(4)
1 = x² + y² circulo con centro en el origen (0,0)

2) r = 4 senѲ
Si multiplicamos a r ambos miembros:
r² = 4 r senѲ

Si sustituimos:
r² = x² + y²
y = r senѲ
x² + y² = 4y ecuación en forma cartesiana
x² + y² - 4y = 0

Completar trinomio cuadrado perfecto (C. T. C. P)
x² + y² - 4y + (4/2)² = (4/2)²
x² + y² - 4y + 4 = 4
x² + (y – 2)² = 4 circunferencia fuera del origen

Circunferencia con centro (0,2) r = 2

d) Describir la gráfica de ρ = 2cosΦ

1er paso multiplicar por ρ ambos miembros:
ρ² = 2cosΦ

como ρ² = x² + y² + z²
ρ cosΦ = z

Sustituimos las equivalencias:
x² + y² + z² = 2z ecuación cartesiana

Agrupamos términos semejantes:
x² + y² + z² - 2z = 0

C. T. C. P con z
x² + y² + z² - 2z = 0
x² + y² + z² - 2z + (2/2)² = (2/2)²

x² + y² + z² - 2z + 1 = 1 factorizamos x² + y² + (z – 1)² = 1

Ecuación de una esfera fuera del origen con centro (0, 0, 1)

Tarea de Repaso

Repaso:

1) Si:

µ = (2, -1, 3)
v = (0, 1, 7)
w = (1, 4, 5)

a) µ x (v x w)

i-----j---k
0---1---7 = [(1 x 5)–(4 x 7)]î - [(0 x 5)–(1 x 7)]ĵ + [(0 x 4)–(1 x 1)]k̂
1---4---5 -----------------------------= -23i + 7j – 1k


---i----j---k
---2---1---3 = [(-1 x -1)–(7 x 3)]î - [(2 x -1)–(-23 x 3)]ĵ + [(2 x 7) – (-23 x -1)]k̂
-23---7---1----------------------- = 20i – 67j – 9k =-56


b) (µ x v) x w

i---- j---k
2 --1---3 = [(-1 x 7) – (1 x 3)]î - [(2 x 7) – (0 x 3)]ĵ + [(2 x 1) – (0 x -1)]k
0---1---7----------------------------= -10i – 14j + 2k

---i-----j-----k
-10--14----2 = [(-14 x 5) – (4 x 2)]î - [(-10 x 5) – (1 x 2)]ĵ + [(-10 x 4) – (1 x -14)]k
---1----4----5----------------------= -78i + 52j -26k = -12

c) (µ x v) -2 w

-2 (1, 4, 5) = -2, -8, -10
(-10, -14, ) + (-2, -8, -10) = -12 -22 -8

2) Hallar el área del triangulo que tiene vértices P, Q, R
P (1, 5, -2)
Q ( 0, 0, 0)------------------------(-1, -5, 2) (2, 0, 3)
R (3, 5, 1)

------------→ ---------→------------2
A = ½ //P₁P₂ x P₁P₃// = ______ = 9.66
--------------------------------------19.33

--→---------→--------i-----j----k
P₁P₂ x P₁P₃ = -1-----5---2 = [(-5 x 3) – (0 x 2)]î - [(-1 x 3) – (2 x 2)]ĵ
--------------------------2-----0---3--------------------+ [(-1 x 0) – (2 x -5)]k̂
------------------------------------------------------------= -15i + 7j + 10k

Producto Vectorial y Producto Escalar (Cruz)

Producto Escalar

Si M y V son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y sus angulo entre ellos es 0 ≤ Ѳ ≥ π.

Entonces:

________//µ//v//cosѲ ______________si µ ≠ 0 y v ≠ 0
µ · v =
________0 _______________________si µ = 0, v = 0

___________µ · v
Ѳ = con-1 = _________
__________//µ//v//

//µ// = √ (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²

Ѳ = es agudo si y solo si µ · v › 0
Ѳ = es obtuso si y solo si µ · v ‹ 0
Ѳ = π/2 si y solo si µ · v = 0

Producto Vectorial (Cruz)

Si µ = (µ₁, µ₂, µ₃) y v = (ѵ₁, ѵ₂, ѵ₃) son vectores.

En el espacio el producto vectorial queda determinado por:

µ x v = µ₂ѵ₃ - µ₃ѵ₂, µ₃ѵ₂ - µ₁ѵ₃, µ₁ѵ₂ - µ₂ѵ₁

---------i -----j----k
µ x v = µ₁ µ₂ µ₃
---------ѵ₁--ѵ₂ ѵ₃

Coordenadas Cilindricas

Coordenadas Cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas polares en el plano pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y por ejemplo para tratar la gráfica en dos dimensiones.

El sistema de coordenadas polares se puden generalizar en tres dimensiones, y con coodenadas (r, Ѳ, z) de unpunto.

Donde:

r = radio
Ѳ = ángulo de r con respecto a x
z = elevacion de r

Si Ѳ₀ y z₀ =constante
Ecuación es un plano que contiene a z.

Si z = z₀
Ecuación plano perpendicular a z o paralelo al plano “xy”

Relación de coordenadas cilíndricas y cartesianas
Cilíndricas a cartesianas------------------- Cartesianas a cilíndricas
x = r cosѲ-------------------------------------- r = √x² + y²
y= r senѲ------------------------------------------------------ y
z = z-------------------------------------------tan-1 = Ѳ = -------
------------------------------------------------------------------x

---------------------------------------------------z = z

Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.
El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto P en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ, φ, z), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY
φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada acimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).

El significado geométrico de estas coordenadas es simple, las superficies de radio constante, son cilindros cuyo eje coincide con el eje z; las superficies de ángulo constante, son planos que cortan el eje z; y las superficies de z constante son planos perpendiculares al eje z (paralelos al plano xy).

Coordenadas esfericas

Coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas polares pueden servr para simplificar ciertas ecuaciones y trazar la gafica en dos dimensiones.

Relación de coordenadas esféricas a cartesianas

Esféricas a cartesianas-----------------Cartesianas a esféricas
x = ρ sen φ cosѲ-----------------------ρ = √x² + y² + z²
y = ρ senφ senѲ --------------------------------------y
z = ρ cosѲ-----------------------------tan -1 Ѳ = --------
----------------------------------------------------------x
-------------------------------------------------------z
----------------------------------------Cos φ = -------------
-------------------------------------------------√x² + y² + z²

ρ = //OP//
Φ = Angulo entre la parte positiva del eje z y OP.
Ѳ = Angulo polar a la proyección p’ de p sobre el plano xy.

El sistema de coordenadas Esféricas se puede definir utilizando las siguientes variables r, rho, theta, donde rho se mide desde el eje Z y theta desde el eje X.

Las relaciones entre r, rho, theta y x, y, z son las siguientes:

x=r*sin(rho)*cos(theta)
y=r*sin(rho)*sin(theta)

z=r*cos(rho)

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ.

Coordenadas Cartesinas

Coordenadas Cartesianas

Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

Sistemas Coordenados y calculo vectorial

Sistemas Coordenados

Existen tres diferentes tipos de sistemas coordenados. El sistema coordenado cartesiano, bidimensional o plano, el cual consta de dos ejes, X y Y; el sistema coordenado unidimensional, el cual sólo consta de un eje y el sistema coordenado tridimensional, el cual, consta de 3 ejes coordenados, X, Y y Z.

Un sistema de coordenadas cartesianas se define por 2 o 3 ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si en un sistema bidimensional y tridimensional.
Se llama sistema de ejes coordenados ortogonales, al formado por tres rectas X, Y y Z, perpendiculares entre sí dos a dos, siendo cada una de ellas perpendicular al plano determinado por las otras dos.

Las rectas se llaman ejes coordenados y los planos que determinan, planos coordenados, los cuales, al cortarse, dividen al espacio en ocho triedros rectán­gulos, tales como el OXYZ.
Se dibujan las perpendiculares PL, PM, PN que van desde P a los puntos yz, zx y xy respectivamente.

Distancia al origen.- para hallar la distancia, construir el paralelogramo rectangular que tenga lados PL, PM, PN.

Cálculo Vectorial

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariables de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de formulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.
Consta de asignar o asociar un escalar a un punto en el espacio, y un vector a un punto en el espacio, es decir se llaman magnitudes escalares aquellos que solo influye en su tamaño mientras las magnitudes vectoriales son aquellas en que influye la dirección y el sentido en que se aplica.

Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente determinadas por un número seguido del símbolo de la unidad que se ha utilizado para medirlas, por ejemplo, la temperatura, trabajo, volumen, densidad...
Magnitudes vectoriales: son aquellas que además de lo anterior es necesario especificar una dirección y sentido. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, por ejemplo: velocidad, aceleración. Se representan mediante vectores.